Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В ромбе \(АВСD\) выразите через векторы \(\vec{а} = \vec{АС}\) и \(\vec{b} = \vec{ВD}\) векто­ры \(\vec{АD}\) и \(\vec{DС}\).

Ответ

\(\vec{АD} = 0,5(\vec{a} + \vec{b})\), \(\vec{СD} = -0,5(\vec{а} - \vec{b})\).

Решение № 40637:

Для решения задачи о выражении векторов \(\vec{АD}\) и \(\vec{DС}\) через векторы \(\vec{а} = \vec{АС}\) и \(\vec{b} = \vec{ВD}\) в ромбе \(АВСD\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение для вектора \(\vec{АD}\): \[ \vec{АD} = \vec{АВ} + \vec{ВD} \]
2. Заметим, что в ромбе диагонали пересекаются в точке \(O\), которая является точкой пересечения диагоналей и делит их пополам. Поэтому: \[ \vec{АВ} = \frac{1}{2} \vec{а} \] и \[ \vec{ВD} = \frac{1}{2} \vec{b} \]
3. Подставим эти значения в уравнение для \(\vec{АD}\): \[ \vec{АD} = \frac{1}{2} \vec{а} + \frac{1}{2} \vec{b} \]
4. Упростим выражение: \[ \vec{АD} = \frac{1}{2} (\vec{а} + \vec{b}) \]
5. Запишем уравнение для вектора \(\vec{DС}\): \[ \vec{DС} = \vec{DВ} + \vec{ВС} \]
6. Заметим, что: \[ \vec{DВ} = -\vec{ВD} = -\frac{1}{2} \vec{b} \] и \[ \vec{ВС} = -\vec{АВ} = -\frac{1}{2} \vec{а} \]
7. Подставим эти значения в уравнение для \(\vec{DС}\): \[ \vec{DС} = -\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{а} \]
8. Упростим выражение: \[ \vec{DС} = -\frac{1}{2} (\vec{а} + \vec{b}) \]

Таким образом, векторы \(\vec{АD}\) и \(\vec{DС}\) выражаются через векторы \(\vec{а}\) и \(\vec{b}\) следующим образом: \[ \vec{АD} = \frac{1}{2} (\vec{а} + \vec{b}) \] \[ \vec{DС} = -\frac{1}{2} (\vec{а} + \vec{b}) \]