Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Отрезок \(ВМ\) - медиана треугольника \(АВС\). Выразите через век­торы \(\vec{a} = \vec{АС}\) и \(\vec{b} = \vec{ВМ}\) векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{СВ}\).

Ответ

\(\vec{АВ} = 0,5\vec{а} - \vec{b}\), \(\vec{СВ} = -0,5\vec{a} - \vec{b}\).

Решение № 40636:

Для решения задачи выражения векторов \(\vec{AV}\) и \(\vec{CV}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AC}\) и \(\vec{b} = \vec{BM}\), где \(BM\) - медиана треугольника \(ABC\), выполним следующие шаги:

1. Запишем исходные векторы: \[ \vec{a} = \vec{AC}, \quad \vec{b} = \vec{BM} \]
2. Выразим вектор \(\vec{AV}\) через векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{CV}\): \[ \vec{AV} = \vec{AC} + \vec{CV} \]
3. Выразим вектор \(\vec{BV}\) через вектор \(\vec{BM}\): \[ \vec{BV} = \vec{BM} + \vec{MV} \]
4. Поскольку \(M\) - середина \(AC\), вектор \(\vec{AM}\) равен: \[ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{a} \]
5. Выразим вектор \(\vec{AV}\) через \(\vec{AM}\) и \(\vec{MV}\): \[ \vec{AV} = \vec{AM} + \vec{MV} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{MV} \]
6. Поскольку \(M\) - середина \(AC\), вектор \(\vec{MC}\) равен: \[ \vec{MC} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{a} \]
7. Выразим вектор \(\vec{CV}\) через \(\vec{MC}\) и \(\vec{MV}\): \[ \vec{CV} = \vec{MC} + \vec{MV} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{MV} \]
8. Теперь выразим \(\vec{MV}\) через \(\vec{BM}\): \[ \vec{MV} = \vec{BV} - \vec{BM} \]
9. Подставим \(\vec{MV}\) в выражения для \(\vec{AV}\) и \(\vec{CV}\): \[ \vec{AV} = \frac{1}{2} \vec{a} + (\vec{BV} - \vec{BM}) \] \[ \vec{CV} = \frac{1}{2} \vec{a} + (\vec{BV} - \vec{BM}) \]
10. Поскольку \(\vec{BV} = \vec{BM}\), упростим выражения: \[ \vec{AV} = \frac{1}{2} \vec{a} \] \[ \vec{CV} = \frac{1}{2} \vec{a} \]

Таким образом, векторы \(\vec{AV}\) и \(\vec{CV}\) выражаются через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) следующим образом: \[ \vec{AV} = \frac{1}{2} \vec{a} \] \[ \vec{CV} = \frac{1}{2} \vec{a} \]