Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

(опорная). Если точки \(М\) и \(N\) - середины отрезков \(АВ\) и \(СD\), то \(\vec{MN} = \fraq{1}{2}(\vec{AD} + \vec{ВС})\). Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 40635:

Для доказательства утверждения, что если точки \(M\) и \(N\) - середины отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно, то \(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})\), выполним следующие шаги:

1. Определим векторы \(\vec{MN}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} \] \[ \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} \] \[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \]
2. Так как \(M\) и \(N\) являются серединами отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно, то: \[ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \] \[ \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \]
3. Подставим выражения для \(\vec{M}\) и \(\vec{N}\) в выражение для \(\vec{MN}\): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \]
4. Упростим выражение: \[ \vec{MN} = \frac{\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}}{2} \]
5. Представим \(\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}\) через векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B} = (\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) = \vec{AD} + \vec{BC} \]
6. Подставим это в выражение для \(\vec{MN}\): \[ \vec{MN} = \frac{\vec{AD} + \vec{BC}}{2} \]

Таким образом, мы доказали, что \(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})\). Ответ: \(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})\).