Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

(опорная). Если отрезок \(ВМ\) - медиана треугольника \(АВС\), то \(\vec{BM} = \fraq{1}{2}(\vec{ВА} + \vec{ВС})\). Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 40634:

Для доказательства того, что если отрезок \(VM\) — медиана треугольника \(ABC\), то \(\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})\), выполним следующие шаги:

1. Определим точку \(M\) как середину стороны \(AC\) треугольника \(ABC\).
2. Запишем вектор \(\vec{BM}\) как вектор от точки \(B\) до точки \(M\).
3. Используем определение медианы: медиана делит противоположную сторону на две равные части. Таким образом, точка \(M\) делит отрезок \(AC\) на две равные части.
4. Выразим вектор \(\vec{BM}\) через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{BM} = \vec{B} + \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{C}) \]
5. Представим векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{C}\) через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{A} = \vec{B} + \vec{BA}, \quad \vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} \]
6. Подставим эти выражения в формулу для \(\vec{BM}\): \[ \vec{BM} = \vec{B} + \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{BA} + \vec{B} + \vec{BC}) \]
7. Упростим выражение: \[ \vec{BM} = \vec{B} + \frac{1}{2}(2\vec{B} + \vec{BA} + \vec{BC}) \]
8. Вынесем \(\vec{B}\) за скобки: \[ \vec{BM} = \vec{B} + \vec{B} + \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \]
9. Упростим выражение: \[ \vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \]

Таким образом, мы доказали, что \(\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})\). Ответ: \(\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})\).