Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите угол между векторами:
а) \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\);
б) \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(1; 3)\).
Ответ
а) \(90^\circ\); б) \(45^\circ\).
Решение № 40629:
Для нахождения угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула косинуса угла между векторами:
\[
\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
\]
где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — модули векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.
### а) \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\)
- Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-8) = -8 + 8 = 0
\]
- Найдем модуль вектора \(\vec{a}\):
\[
|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
- Найдем модуль вектора \(\vec{b}\):
\[
|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
\]
- Найдем косинус угла между векторами:
\[
\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{0}{20} = 0
\]
- Найдем угол \(\phi\):
\[
\phi = \arccos(0) = 90^\circ
\]
Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\) равен \(90^\circ\).
### б) \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(1; 3)\)
- Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5
\]
- Найдем модуль вектора \(\vec{a}\):
\[
|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
- Найдем модуль вектора \(\vec{b}\):
\[
|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
- Найдем косинус угла между векторами:
\[
\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
- Найдем угол \(\phi\):
\[
\phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ
\]
Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(1; 3)\) равен \(45^\circ\).