Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите скалярное произведение векторов: а) \(\vec{a}(0; 4)\) и \(vec{b}(6; -2)\); б) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\), \(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\); в) \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\), если треугольник \(АВС\) равносторонний со стороной 6.

Ответ

а) -8; б) -2; в) 18.

Решение № 40628:

Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a}(0; 4)\) и \(\vec{b}(6; -2)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (0, 4), \quad \vec{b} = (6, -2) \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]
3. Подставим координаты векторов в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 6 + 4 \cdot (-2) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + (-8) = -8 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(-8\). ### б) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\), \(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\)

1. Запишем условие задачи: \[ |\vec{a}| = 2, \quad |\vec{b}| = 2, \quad \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \]
3. Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) \]
4. Вычислим косинус угла \(120^\circ\): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
5. Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(-2\). ### в) \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\), если треугольник \(АВС\) равносторонний со стороной 6

1. Запишем условие задачи: \[ \text{Треугольник } ABC \text{ равносторонний со стороной } 6 \]
2. Определим длины векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ |\vec{АВ}| = 6, \quad |\vec{АС}| = 6 \]
3. Определим угол между векторами \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ \angle (\vec{АВ}, \vec{АС}) = 60^\circ \]
4. Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = |\vec{АВ}| \cdot |\vec{АС}| \cdot \cos(\theta) \]
5. Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \]
6. Вычислим косинус угла \(60^\circ\): \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]
7. Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\) равно \(18\).