Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Определите, каким является угол между неколлинеарными векто­рами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - острым, прямым или тупым, если: а) \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\); б) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\); в) \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\).

Ответ

NaN

Решение № 40614:

Для определения типа угла между неколлинеарными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) воспользуемся скалярным произведением векторов. Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) определяется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — их длины. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Случай а): \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\)
   1. Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) отрицательно: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \]
   2. Это означает, что \(\cos(\theta) < 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) < 0 \implies \cos(\theta) < 0 \]
   3. Если \(\cos(\theta) < 0\), то угол \(\theta\) тупой (больше 90°, но меньше 180°).
2. Случай б): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
   1. Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
   2. Это означает, что \(\cos(\theta) = 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) = 0 \implies \cos(\theta) = 0 \]
   3. Если \(\cos(\theta) = 0\), то угол \(\theta\) прямой (ровно 90°).
3. Случай в): \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\)
   1. Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) положительно: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \]
   2. Это означает, что \(\cos(\theta) > 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) > 0 \implies \cos(\theta) > 0 \]
   3. Если \(\cos(\theta) > 0\), то угол \(\theta\) острый (меньше 90°).

Таким образом, угол между неколлинеарными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

• тупой, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\);
• прямой, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\);
• острый, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\).