Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Начальные сведения о векторах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5. Найдите координаты точки \(В\), если \(А(4; -2)\), а точка \(В\) лежит на прямой \(у = 2х\).

Ответ

\((1; 2)\) или \((-1; -2)\).

Решение № 40566:

Для решения задачи найдем координаты точки \(В\), если известно, что длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5, координаты точки \(А\) равны \((4; -2)\), и точка \(В\) лежит на прямой \(y = 2x\).

1. Запишем координаты точки \(А\): \(A(4; -2)\).
2. Пусть координаты точки \(В\) будут \((x; y)\).
3. Из условия \(y = 2x\) следует, что координаты точки \(В\) будут \((x; 2x)\).
4. Найдем вектор \(\vec{АВ}\): \[ \vec{АВ} = (x - 4, 2x - (-2)) = (x - 4, 2x + 2) \]
5. Длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5, поэтому: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + (2x + 2)^2} = 5 \]
6. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x - 4)^2 + (2x + 2)^2 = 25 \]
7. Раскроем скобки: \[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \] \[ (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \]
8. Сложим результаты: \[ x^2 - 8x + 16 + 4x^2 + 8x + 4 = 25 \]
9. Упростим уравнение: \[ 5x^2 + 20 = 25 \]
10. Вычтем 20 из обеих частей уравнения: \[ 5x^2 = 5 \]
11. Разделим обе части уравнения на 5: \[ x^2 = 1 \]
12. Решим уравнение \(x^2 = 1\): \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
13. Подставим найденные значения \(x\) в уравнение \(y = 2x\): \[ \text{Для } x = 1: \quad y = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ \text{Для } x = -1: \quad y = 2 \cdot (-1) = -2 \]
14. Таким образом, координаты точки \(В\) могут быть \((1; 2)\) или \((-1; -2)\).

Ответ: координаты точки \(В\) могут быть \((1; 2)\) или \((-1; -2)\).