Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Начальные сведения о векторах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Если \(\vec{АВ} = \vec{СD}\), то середины отрезков АD и ВС совпадают. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 40563:

Для доказательства того, что если \(\vec{AB} = \vec{CD}\), то середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AD\) и \(BC\) соответственно.
2. Определим векторы, соединяющие точки \(M\) и \(N\) с концами отрезков:
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} \vec{AD}\)
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} \vec{DA}\)
• \(\vec{NB} = \frac{1}{2} \vec{BC}\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2} \vec{CB}\)
3. Выразим векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
• \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}\)
• \(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\)
4. Подставим \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) в выражения для середин:
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BD})\)
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA})\)
• \(\vec{NB} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2} (\vec{CB})\)
5. Используем условие \(\vec{AB} = \vec{CD}\):
• \(\vec{AD} = \vec{CD} + \vec{BD}\)
• \(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\)
6. Подставим \(\vec{CD}\) вместо \(\vec{AB}\) и упростим:
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{CD} + \vec{BD})\)
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA})\)
• \(\vec{NB} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2} (\vec{CB})\)
7. Проверим, что точки \(M\) и \(N\) совпадают:
• Сравним векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{NB}\):
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{CD} + \vec{BD}) = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC}) = \vec{NB}\)
• Сравним векторы \(\vec{MD}\) и \(\vec{NC}\):
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA}) = \frac{1}{2} (\vec{CB}) = \vec{NC}\)
8. Таким образом, точки \(M\) и \(N\) совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают.