Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Начальные сведения о векторах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В параллелограмме \(АBCD АB = 4\), \(BС = 7\), диагональ \(АС\) больше диагонали \(ВD\) на 2. Найдите длины векторов \(\vec{АС}\) и \(\vec{DB}\).

Ответ

9 и 7.

Решение № 40561:

Для решения задачи о параллелограмме \(ABCD\) с данными \(AB = 4\), \(BC = 7\) и диагоналями \(AC\) и \(BD\), где \(AC\) больше \(BD\) на 2, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение для диагоналей: \[ AC = BD + 2 \]
2. Используем свойства параллелограмма: \[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \] \[ \vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB} \]
3. Выразим длины диагоналей через векторы: \[ |\vec{AC}| = |\vec{AB} + \vec{BC}| \] \[ |\vec{BD}| = |\vec{BC} - \vec{AB}| \]
4. Используем теорему Пифагора для нахождения длин диагоналей: \[ |\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{BC} \] \[ |\vec{BD}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 - 2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{BC} \]
5. Подставим значения \(AB\) и \(BC\): \[ |\vec{AC}|^2 = 4^2 + 7^2 + 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\theta) \] \[ |\vec{BD}|^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\).
6. Подставим известные значения: \[ |\vec{AC}|^2 = 16 + 49 + 56 \cdot \cos(\theta) \] \[ |\vec{BD}|^2 = 49 + 16 - 56 \cdot \cos(\theta) \]
7. Используем уравнение \(AC = BD + 2\): \[ \sqrt{65 + 56 \cdot \cos(\theta)} = \sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} + 2 \]
8. Решим систему уравнений: \[ \sqrt{65 + 56 \cdot \cos(\theta)} - \sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} = 2 \]
9. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 65 + 56 \cdot \cos(\theta) = 65 - 56 \cdot \cos(\theta) + 4\sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} + 4 \]
10. Упростим уравнение: \[ 112 \cdot \cos(\theta) = 4\sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} + 4 \]
11. Решим уравнение для \(\cos(\theta)\): \[ 112 \cdot \cos(\theta) - 4\sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} = 4 \]
12. Найдем \(\cos(\theta)\): \[ \cos(\theta) = -\frac{7}{16} \]
13. Подставим \(\cos(\theta)\) обратно в уравнения для диагоналей: \[ |\vec{AC}|^2 = 65 + 56 \cdot \left(-\frac{7}{16}\right) \] \[ |\vec{BD}|^2 = 65 - 56 \cdot \left(-\frac{7}{16}\right) \]
14. Вычислим длины диагоналей: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{65 - \frac{392}{16}} = \sqrt{65 - 24.5} = \sqrt{40.5} \] \[ |\vec{BD}| = \sqrt{65 + \frac{392}{16}} = \sqrt{65 + 24.5} = \sqrt{89.5} \]

Таким образом, длины векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) равны \(\sqrt{40.5}\) и \(\sqrt{89.5}\) соответственно. Ответ: \(\vec{AC} = \sqrt{40.5}\), \(\vec{BD} = \sqrt{89.5}\).