Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Начальные сведения о векторах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

С помощью векторов докажите, что четырехугольник \(АВСD\) - паралле­лограмм, если \(А(-2; -1)\), \(B(1; 2)\), \(С(2; 2)\), \(D(-1; -1)\).

Ответ

\(А(0; -2)\).

Решение № 40558:

Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом с помощью векторов, выполним следующие шаги:

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BC}\).
2. Сравним векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\), а также \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\).
3. Проверим, равны ли соответствующие векторы.

1. Найдем вектор \(\overrightarrow{AB}\):

   \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (1 - (-2), 2 - (-1)) = (3, 3) \]

2. Найдем вектор \(\overrightarrow{DC}\):

   \[ \overrightarrow{DC} = (C_x - D_x, C_y - D_y) = (2 - (-1), 2 - (-1)) = (3, 3) \]

3. Найдем вектор \(\overrightarrow{AD}\):

   \[ \overrightarrow{AD} = (D_x - A_x, D_y - A_y) = (-1 - (-2), -1 - (-1)) = (1, 0) \]

4. Найдем вектор \(\overrightarrow{BC}\):

   \[ \overrightarrow{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (2 - 1, 2 - 2) = (1, 0) \]

5. Сравним векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\):

   \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3, 3) \]

6. Сравним векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

   \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (1, 0) \]

Поскольку \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), это означает, что противоположные стороны четырехугольника \(ABCD\) равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.