№410

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:
📖 Геометрия. Учебник для 8 класса общеобразовательных учебных заведений с обучением на русском языке
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: Уровень В
🔢 Номер задачи: 410

Условие

Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении \(1 : 7\). В каком отношении эта высота делит диагональ параллелограмма?

Ответ

Ответ: высота делит диагональ в отношении \(1 : 8\).

Решение № 39665:

Дополнительное построение: продлеваем сторону \(AD\) параллелограмма и проводим высоту \(CF\) из точки \(С\) на \(AD\). \(\Delta AEB = \Delta DFC\), тогда \(АЕ = DF\). Пусть \(АЕ = х\), тогда \(DF = х\) и \(ED = 7x\), отсюда \(AF = 9х\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\Delta АМЕ\) и \(\Delta ACF : \angle MAE = \angle CAF\) - совпадающий угол, тогда \(\Delta АМЕ \sim \Delta АСF\) по равному острому углу. Из подобия: \(\fraq{AM}{AC} = \fraq{AE}{AF}\); но \(AC = AM + MC\), a \(\fraq{AE}{AF} = \fraq{1}{9}\), тогда \(\fraq{AM}{AM +MC} = \fraq{1}{9}\), откуда \(8 \cdot AM = MC\); следовательно, \(\fraq{AM}{MC} = \fraq{1}{8}\) Ответ: высота делит диагональ в отношении \(1 : 8\).