Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, Первый признак равенства треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

В треугольнике \(АВС АВ = СВ\). Биссектриса угла \(В\) пересекает сторону \(АС\) в точке \(D\). Докажите, что прямые \(АС\) и \(ВD\) перпендику­лярны.

Ответ

NaN

Решение № 38797:

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором \(AB = BC\). Это означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным.
2. Биссектриса угла \(V\) пересекает сторону \(AC\) в точке \(D\).
3. Поскольку \(AB = BC\), углы при основании равнобедренного треугольника \(ABC\) равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\).
4. Биссектриса угла \(V\) делит угол \(\angle BAC\) пополам. Пусть \(\angle BAD = \angle DAC = \alpha\).
5. Тогда \(\angle BAC = 2\alpha\).
6. Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), то \(\angle BCA = 2\alpha\).
7. Биссектриса угла \(V\) также делит угол \(\angle BCA\) пополам. Пусть \(\angle BCD = \angle DCA = \alpha\).
8. Теперь рассмотрим углы \(\angle BDA\) и \(\angle BDC\).
9. В треугольнике \(BDA\), \(\angle BDA = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD\).
10. Поскольку \(\angle BAD = \alpha\) и \(\angle ABD = \alpha\), то \(\angle BDA = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha\).
11. В треугольнике \(BDC\), \(\angle BDC = 180^\circ - \angle BCD - \angle DBC\).
12. Поскольку \(\angle BCD = \alpha\) и \(\angle DBC = \alpha\), то \(\angle BDC = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha\).
13. Теперь рассмотрим угол \(\angle ADC\).
14. В треугольнике \(ADC\), \(\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle DCA\).
15. Поскольку \(\angle DAC = \alpha\) и \(\angle DCA = \alpha\), то \(\angle ADC = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha\).
16. Таким образом, \(\angle BDA = \angle BDC = \angle ADC = 90^\circ\).
17. Следовательно, прямые \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.

Ответ: Прямые \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.