Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, Первый признак равенства треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В треугольнике \(АВС АВ = СВ\). Биссектриса угла \(В\) пере­секает сторону \(АС\) в точке \(D\). Найдите длину отрезка \(АD\), если \(АС = 8\) см.

Ответ

4 см.

Решение № 38792:

Для решения задачи найдем длину отрезка \(AD\) в треугольнике \(ABC\), где \(AB = BC\) и биссектриса угла \(B\) пересекает сторону \(AC\) в точке \(D\). Дано, что \(AC = 8\) см.

1. Запишем уравнение: \[ AB = BC \]
2. Поскольку \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным, и углы при основании равны. Обозначим их как \(\alpha\): \[ \angle BAC = \angle BCA = \alpha \]
3. Биссектриса угла \(B\) делит угол \(B\) на два равных угла. Пусть \(\angle ABD = \angle DBC = \beta\). Тогда: \[ \angle ABC = 2\beta \]
4. Сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна \(180^\circ\): \[ \alpha + \alpha + 2\beta = 180^\circ \] \[ 2\alpha + 2\beta = 180^\circ \] \[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
5. Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\). Угол \(\angle ADB\) равен \(90^\circ\), так как \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABD\) является прямоугольным треугольником с катетами \(AD\) и \(BD\) и гипотенузой \(AB\).
6. Поскольку \(AB = BC\) и \(AC = 8\) см, то \(AB = BC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.
7. В прямоугольном треугольнике \(ABD\) катет \(AD\) равен половине гипотенузы \(AB\), так как \(BD\) является биссектрисой угла \(B\): \[ AD = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} \]

Таким образом, длина отрезка \(AD\) равна 2 см. Ответ: 2 см.