Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, Первый признак равенства треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Общая сторона двух смежных углов делит угол между биссектри­сами этих углов пополам. Докажите, что данные углы прямые.

Ответ

NaN

Решение № 38775:

Для доказательства того, что общая сторона двух смежных углов делит угол между биссектрисами этих углов пополам, и что эти углы прямые, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим два смежных угла \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) с общей стороной \( OB \). Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке \( D \).
2. Предположим, что \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) не являются прямыми углами. Если бы они были прямыми, то их сумма была бы \( 180^\circ \), что противоречит условию смежных углов.
3. Поскольку \( D \) лежит на биссектрисах \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \), то \( \angle AOD = \angle DOB \) и \( \angle BOD = \angle DOC \).
4. Так как \( OB \) делит угол между биссектрисами пополам, то \( \angle AOD = \angle DOC \).
5. Следовательно, \( \angle AOD = \angle DOB = \angle DOC \).
6. Теперь рассмотрим углы \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \). Пусть \( \angle AOB = 2\alpha \) и \( \angle BOC = 2\beta \).
7. Тогда \( \angle AOD = \alpha \) и \( \angle DOC = \beta \).
8. Поскольку \( \angle AOD = \angle DOC \), то \( \alpha = \beta \).
9. Следовательно, \( \angle AOB = 2\alpha \) и \( \angle BOC = 2\alpha \).
10. Так как \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) являются смежными углами, их сумма должна быть \( 180^\circ \).
11. Таким образом, \( 2\alpha + 2\alpha = 180^\circ \), что дает \( 4\alpha = 180^\circ \).
12. Решим уравнение \( 4\alpha = 180^\circ \): \[ \alpha = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ \]
13. Следовательно, \( \angle AOB = 2\alpha = 90^\circ \) и \( \angle BOC = 2\alpha = 90^\circ \).
14. Таким образом, оба угла \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) являются прямыми углами.

Ответ: \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) являются прямыми углами.