Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\(0,2\cdot 5^{2x}+2^{2x}-5^{2x}+4\cdot 2^{2x}=0\)
Ответ
1
Решение № 3759:
Для решения уравнения \(0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0
\]
- Сгруппируем слагаемые, содержащие \(5^{2x}\) и \(2^{2x}\):
\[
0,2 \cdot 5^{2x} - 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0
\]
- Вынесем общий множитель \(5^{2x}\) из первых двух слагаемых:
\[
(0,2 - 1) \cdot 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0
\]
\[
-0,8 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0
\]
- Сгруппируем слагаемые, содержащие \(2^{2x}\):
\[
-0,8 \cdot 5^{2x} + (1 + 4) \cdot 2^{2x} = 0
\]
\[
-0,8 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 2^{2x} = 0
\]
- Перенесем слагаемое с \(5^{2x}\) в правую часть уравнения:
\[
5 \cdot 2^{2x} = 0,8 \cdot 5^{2x}
\]
- Разделим обе части уравнения на 0,8:
\[
\frac{5}{0,8} \cdot 2^{2x} = 5^{2x}
\]
\[
6,25 \cdot 2^{2x} = 5^{2x}
\]
- Представим \(6,25\) в виде степени с основанием 2:
\[
6,25 = 2^{2,5}
\]
\[
2^{2,5} \cdot 2^{2x} = 5^{2x}
\]
- Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\[
2^{2,5 + 2x} = 5^{2x}
\]
- Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней:
\[
2,5 + 2x = 2x \cdot \log_2(5)
\]
- Решим уравнение относительно \(x\):
\[
2,5 + 2x = 2x \cdot \log_2(5)
\]
\[
2,5 = 2x \cdot \log_2(5) - 2x
\]
\[
2,5 = 2x (\log_2(5) - 1)
\]
\[
x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)}
\]
Таким образом, решение уравнения \(0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0\) есть \(x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)}\).
Ответ: \(x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)}\)