Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\(7^{x}-5^{x+1}=3\cdot 5^{x-1}-13\cdot 7^{x-1}\)
Ответ
2
Решение № 3755:
Для решения уравнения \(7^{x}-5^{x+1}=3 \cdot 5^{x-1}-13 \cdot 7^{x-1}\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
7^{x} - 5^{x+1} = 3 \cdot 5^{x-1} - 13 \cdot 7^{x-1}
\]
- Выразим \(5^{x+1}\) и \(7^{x-1}\) через \(5^x\) и \(7^x\):
\[
5^{x+1} = 5 \cdot 5^x
\]
\[
7^{x-1} = \frac{7^x}{7}
\]
\[
5^{x-1} = \frac{5^x}{5}
\]
- Подставим выражения в уравнение:
\[
7^x - 5 \cdot 5^x = 3 \cdot \frac{5^x}{5} - 13 \cdot \frac{7^x}{7}
\]
- Упростим выражения:
\[
7^x - 5 \cdot 5^x = \frac{3 \cdot 5^x}{5} - \frac{13 \cdot 7^x}{7}
\]
- Умножим все части уравнения на 35, чтобы избавиться от знаменателей:
\[
35 \cdot 7^x - 35 \cdot 5 \cdot 5^x = 35 \cdot \frac{3 \cdot 5^x}{5} - 35 \cdot \frac{13 \cdot 7^x}{7}
\]
- Упростим уравнение:
\[
35 \cdot 7^x - 175 \cdot 5^x = 21 \cdot 5^x - 65 \cdot 7^x
\]
- Перенесем все члены с \(7^x\) и \(5^x\) на одну сторону уравнения:
\[
35 \cdot 7^x + 65 \cdot 7^x = 175 \cdot 5^x + 21 \cdot 5^x
\]
- Упростим уравнение:
\[
100 \cdot 7^x = 196 \cdot 5^x
\]
- Разделим обе части уравнения на \(5^x\):
\[
\frac{100 \cdot 7^x}{5^x} = 196
\]
- Упростим уравнение:
\[
100 \cdot \left( \frac{7}{5} \right)^x = 196
\]
- Разделим обе части уравнения на 100:
\[
\left( \frac{7}{5} \right)^x = \frac{196}{100}
\]
- Упростим правую часть уравнения:
\[
\left( \frac{7}{5} \right)^x = \left( \frac{7}{5} \right)^2
\]
- Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней:
\[
x = 2
\]
Таким образом, решение уравнения \(7^{x} - 5^{x+1} = 3 \cdot 5^{x-1} - 13 \cdot 7^{x-1}\) есть \(x = 2\).
Ответ: 2