Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\(9^{x}-2^{x+0,5}=2^{x+3,5}-3^{2x-1}\)
Ответ
1.5
Решение № 3754:
Для решения уравнения \(9^{x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}
\]
- Перенесем все члены с \(2^x\) и \(3^x\) на одну сторону уравнения:
\[
9^x + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5}
\]
- Представим \(9^x\) и \(3^{2x-1}\) в виде степеней с основанием 3:
\[
9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
\]
\[
3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} = 3^{2x} \cdot \frac{1}{3}
\]
- Представим \(2^{x+3.5}\) и \(2^{x+0.5}\) в виде степеней с основанием 2:
\[
2^{x+3.5} = 2^x \cdot 2^{3.5} = 2^x \cdot 2^{3.5}
\]
\[
2^{x+0.5} = 2^x \cdot 2^{0.5}
\]
- Подставим выражения в уравнение:
\[
3^{2x} + 3^{2x} \cdot \frac{1}{3} = 2^x \cdot 2^{3.5} + 2^x \cdot 2^{0.5}
\]
- Упростим выражение:
\[
3^{2x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x} = 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})
\]
- Вынесем общий множитель \(3^{2x}\) слева и \(2^x\) справа:
\[
3^{2x} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 2^x \left(2^{3.5} + 2^{0.5}\right)
\]
- Упростим выражение в скобках:
\[
3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})
\]
- Разделим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\):
\[
3^{2x} = \frac{3}{4} \cdot 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})
\]
- Рассмотрим уравнение \(3^{2x} = 2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})\):
\[
3^{2x} = 2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})
\]
- Возьмем логарифм обеих частей уравнения:
\[
\log(3^{2x}) = \log\left(2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})\right)
\]
- Используем свойства логарифмов:
\[
2x \log(3) = x \log(2) + \log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})
\]
- Разделим обе части уравнения на \(x\):
\[
2 \log(3) = \log(2) + \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{x}
\]
- Решим уравнение относительно \(x\):
\[
x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)}
\]
Таким образом, решение уравнения \(9^{x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}\) есть:
\[
x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)}
\]
Ответ: \(x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)}\)