Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(3^{\frac{2-x}{x-5}}=\frac{1}{9}\)

Ответ

8

Решение № 3740:

Для решения уравнения \(3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9} \]
2. Представим число \(\frac{1}{9}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \]
3. Подставим \(3^{-2}\) вместо \(\frac{1}{9}\) в уравнение: \[ 3^{\frac{2-x}{x-5}} = 3^{-2} \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{2-x}{x-5} = -2 \]
5. Решим уравнение \(\frac{2-x}{x-5} = -2\):
   1. Умножим обе части уравнения на \(x-5\): \[ 2 - x = -2(x - 5) \]
   2. Раскроем скобки: \[ 2 - x = -2x + 10 \]
   3. Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону уравнения: \[ 2 - x + 2x = 10 \]
   4. Упростим уравнение: \[ x = 8 \]
6. Проверим решение \(x = 8\) на соответствие области допустимых значений (ОДЗ): \[ x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5 \] Поскольку \(x = 8\) не равен 5, решение удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решение уравнения \(3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9}\) есть \(x = 8\). Ответ: 8