Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\(3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}=315\)
Ответ
3
Решение № 3733:
Для решения уравнения \(3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315
\]
- Выразим \(3^{2x-1}\) через \(3^{2x-2}\):
\[
3^{2x-1} = 3 \cdot 3^{2x-2}
\]
- Выразим \(3^{2x-4}\) через \(3^{2x-2}\):
\[
3^{2x-4} = \frac{3^{2x-2}}{3^2} = \frac{3^{2x-2}}{9}
\]
- Подставим выражения \(3^{2x-1}\) и \(3^{2x-4}\) в уравнение:
\[
3 \cdot 3^{2x-2} + 3^{2x-2} - \frac{3^{2x-2}}{9} = 315
\]
- Вынесем общий множитель \(3^{2x-2}\):
\[
3^{2x-2} \left(3 + 1 - \frac{1}{9}\right) = 315
\]
- Упростим выражение в скобках:
\[
3^{2x-2} \left(4 - \frac{1}{9}\right) = 315
\]
- Преобразуем выражение в скобках в общую дробь:
\[
4 - \frac{1}{9} = \frac{36}{9} - \frac{1}{9} = \frac{35}{9}
\]
- Подставим выражение в уравнение:
\[
3^{2x-2} \cdot \frac{35}{9} = 315
\]
- Умножим обе части уравнения на 9:
\[
3^{2x-2} \cdot 35 = 315 \cdot 9
\]
- Вычислим произведение:
\[
3^{2x-2} \cdot 35 = 2835
\]
- Разделим обе части уравнения на 35:
\[
3^{2x-2} = \frac{2835}{35}
\]
- Вычислим деление:
\[
3^{2x-2} = 81
\]
- Представим число 81 в виде степени с основанием 3:
\[
81 = 3^4
\]
- Подставим \(3^4\) вместо 81 в уравнение:
\[
3^{2x-2} = 3^4
\]
- Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней:
\[
2x - 2 = 4
\]
- Решим уравнение:
\[
2x - 2 = 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3
\]
Таким образом, решение уравнения \(3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315\) есть \(x = 3\).
Ответ: 3