Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(4^{x+1}+11\cdot 4^{x-2}=300\)

Ответ

3

Решение № 3731:

Для решения уравнения \(4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300 \]
2. Выразим \(4^{x+1}\) и \(4^{x-2}\) через \(4^x\): \[ 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x \] \[ 4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16} \]
3. Подставим \(4^{x+1}\) и \(4^{x-2}\) в уравнение: \[ 4 \cdot 4^x + 11 \cdot \frac{4^x}{16} = 300 \]
4. Вынесем общий множитель \(4^x\): \[ 4^x \left(4 + \frac{11}{16}\right) = 300 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 4 + \frac{11}{16} = \frac{64}{16} + \frac{11}{16} = \frac{75}{16} \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 4^x \cdot \frac{75}{16} = 300 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(\frac{16}{75}\): \[ 4^x = 300 \cdot \frac{16}{75} \]
7. Вычислим произведение: \[ 300 \cdot \frac{16}{75} = 300 \cdot \frac{16}{75} = 64 \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 4^x = 64 \]
8. Представим число 64 в виде степени с основанием 4: \[ 64 = 4^3 \]
9. Подставим \(4^3\) вместо 64 в уравнение: \[ 4^x = 4^3 \]
10. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 3 \]

Таким образом, решение уравнения \(4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300\) есть \(x = 3\). Ответ: 3