Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(\sqrt[3]{5^{x-1}}\cdot \sqrt{5}=5\)

Ответ

2.5

Решение № 3718:

Для решения уравнения \(\sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5 \]
2. Представим корни в виде степеней: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} = 5^{\frac{x-1}{3}}, \quad \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 5^{\frac{x-1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5 \]
4. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 5^{\frac{x-1}{3} + \frac{1}{2}} = 5 \]
5. Приравняем показатели степеней: \[ \frac{x-1}{3} + \frac{1}{2} = 1 \]
6. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2(x-1)}{6} + \frac{3}{6} = 1 \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{2(x-1) + 3}{6} = 1 \]
8. Умножим обе части уравнения на 6: \[ 2(x-1) + 3 = 6 \]
9. Раскроем скобки и упростим: \[ 2x - 2 + 3 = 6 \]
10. Сложим и вычтем числа: \[ 2x + 1 = 6 \]
11. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \[ 2x = 5 \]
12. Разделим обе части уравнения на 2: \[ x = \frac{5}{2} \]

Таким образом, решение уравнения \(\sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5\) есть \(x = \frac{5}{2}\). Ответ: \(\frac{5}{2}\)