Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Дана последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n} \)
Верно ли утверждение, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится?
Ответ
Да
Решение № 3595:
Для решения задачи о сходимости последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \}\) и \(\left \{ z_{n} \right \}\), рассмотрим следующие шаги:
- Определим последовательности:
\[
x_{n} = a_{2n}, \quad y_{n} = a_{2n-1}, \quad z_{n} = a_{2n+4}, \quad u_{n} = a_{3n}
\]
- Предположим, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится к некоторому пределу \(L\):
\[
\lim_{n \to \infty} z_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{2n+4} = L
\]
- Теперь рассмотрим последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\):
\[
x_{n} = a_{2n}
\]
- Чтобы проверить сходимость \(\left \{ x_{n} \right \}\), рассмотрим её поведение при \(n \to \infty\):
\[
\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{2n}
\]
- Заметим, что \(a_{2n+4}\) и \(a_{2n}\) могут иметь разные пределы, так как индексы \(2n+4\) и \(2n\) различаются на константу 4. Однако, если \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, то любые две подпоследовательности с индексами, отличающимися на константу, также будут сходиться к тому же пределу.
- Следовательно, если \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится к \(L\), то и \(\left \{ x_{n} \right \}\) также сходится к \(L\):
\[
\lim_{n \to \infty} x_{n} = L
\]
Таким образом, если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится.
Ответ: Да