Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Финансовая математика(С5) Задачи на оптимальный выбор
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
На координатной плоскости рассматривается прямоугольник \(ABCD\), у которого сторона \(AB\) лежит на оси координат, вершина \(C\) на параболе \(y=x^{2}-4x+3\), а вершина \(D\) - на параболе \(y=-x^{2}+2x-2\). При этом абсцисса вершины \(D\) принадлежит отрезку \(\left [ \frac{4}{5};\frac{3}{2} \right ]\). Какое значение должна иметь абсцисса вершины \(D\), чтобы площадь прямоугольника \(ABCD\) была наименьшей?
Ответ
0.8
Решение № 3461:
Для решения задачи о нахождении абсциссы вершины \(D\) прямоугольника \(ABCD\), чтобы его площадь была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:
-
Определить координаты вершин прямоугольника:
-
Вершина \(A\) имеет координаты \((a, 0)\), где \(a\) — абсцисса точки \(A\).
-
Вершина \(B\) имеет координаты \((b, 0)\), где \(b\) — абсцисса точки \(B\).
-
Вершина \(C\) имеет координаты \((b, b^2 - 4b + 3)\), так как она лежит на параболе \(y = x^2 - 4x + 3\).
-
Вершина \(D\) имеет координаты \((a, -a^2 + 2a - 2)\), так как она лежит на параболе \(y = -x^2 + 2x - 2\).
-
Выразить длины сторон прямоугольника:
-
Длина стороны \(AB\) равна \(b - a\).
-
Длина стороны \(AD\) равна \(|-a^2 + 2a - 2|\).
-
Выразить площадь прямоугольника \(ABCD\):
\[
S = (b - a) \cdot |-a^2 + 2a - 2|
\]
-
Учитывая, что \(b = a + \Delta x\), где \(\Delta x = b - a\), и \(a\) принадлежит отрезку \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), найдем минимум площади:
-
Площадь прямоугольника \(S\) можно выразить как:
\[
S = \Delta x \cdot |-a^2 + 2a - 2|
\]
-
Минимизировать выражение \(|-a^2 + 2a - 2|\):
-
Найдем производную функции \(f(a) = -a^2 + 2a - 2\):
\[
f'(a) = -2a + 2
\]
-
Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(a) = 0\):
\[
-2a + 2 = 0 \implies a = 1
\]
-
Проверим, попадает ли \(a = 1\) в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\):
-
\(1\) не попадает в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), поэтому рассмотрим значения на концах отрезка.
-
Вычислим значения функции \(|-a^2 + 2a - 2|\) на концах отрезка:
-
Для \(a = \frac{4}{5}\):
\[
|-(\frac{4}{5})^2 + 2 \cdot \frac{4}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{8}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{40}{25} - \frac{50}{25}| = |\frac{-26}{25}| = \frac{26}{25}
\]
-
Для \(a = \frac{3}{2}\):
\[
|-(\frac{3}{2})^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 2| = |-\frac{9}{4} + 3 - 2| = |-\frac{9}{4} + \frac{12}{4} - \frac{8}{4}| = |\frac{-5}{4}| = \frac{5}{4}
\]
-
Сравнить значения:
-
\(\frac{26}{25} \approx 1.04\)
-
\(\frac{5}{4} = 1.25\)
-
Минимальное значение достигается при \(a = \frac{4}{5}\).
Ответ:
Абсцисса вершины \(D\), чтобы площадь прямоугольника \(ABCD\) была наименьшей: \(a = \frac{4}{5}\).
