Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Финансовая математика(С5) Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, если известно, что второе слагаемое больше первого в 3 раза

Ответ

{4;10;12}

Решение № 3441:

Для решения задачи представления числа 26 в виде суммы трех положительных слагаемых \(a\), \(b\) и \(c\), таких что \(a + b + c = 26\) и \(b = 3a\), и при этом сумма их квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\) была наименьшей, выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
\[ a + b + c = 26 \] \[ b = 3a \]
2. Подставим \(b = 3a\) в первое уравнение:
\[ a + 3a + c = 26 \] \[ 4a + c = 26 \]
3. Выразим \(c\) через \(a\):
\[ c = 26 - 4a \]
4. Теперь выразим сумму квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\):
\[ a^2 + (3a)^2 + (26 - 4a)^2 \] \[ a^2 + 9a^2 + (26 - 4a)^2 \] \[ a^2 + 9a^2 + (676 - 208a + 16a^2) \] \[ a^2 + 9a^2 + 676 - 208a + 16a^2 \] \[ 26a^2 - 208a + 676 \]
5. Найдем минимум функции \(f(a) = 26a^2 - 208a + 676\). Для этого найдем её производную и приравняем её к нулю:
\[ f'(a) = 52a - 208 \] \[ 52a - 208 = 0 \] \[ 52a = 208 \] \[ a = 4 \]
6. Подставим \(a = 4\) в уравнения для \(b\) и \(c\):
\[ b = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \] \[ c = 26 - 4a = 26 - 4 \cdot 4 = 26 - 16 = 10 \]
7. Проверим, что сумма \(a + b + c = 26\):
\[ 4 + 12 + 10 = 26 \]
8. Вычислим сумму квадратов:
\[ a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 12^2 + 10^2 \] \[ = 16 + 144 + 100 \] \[ = 260 \]

Ответ:
Слагаемые: \(a = 4\), \(b = 12\), \(c = 10\)
Наименьшая сумма квадратов: \(260\)