Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=-x^{2}+7|x|-12\) на отрезке \([-4;3]\)
Ответ
0.25
Решение № 3426:
Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Рассмотрим функцию \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \). Для этого разделим функцию на два случая в зависимости от знака \( x \):
-
Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \):
\[
y = -x^2 + 7x - 12
\]
-
Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \):
\[
y = -x^2 - 7x - 12
\]
-
Найдем производные функций для каждого случая:
-
Для \( x \geq 0 \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 7x - 12) = -2x + 7
\]
-
Для \( x < 0 \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 7x - 12) = -2x - 7
\]
-
Найдем критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \):
-
Для \( x \geq 0 \):
\[
-2x + 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]
-
Для \( x < 0 \):
\[
-2x - 7 = 0 \implies -2x = 7 \implies x = -\frac{7}{2}
\]
-
Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-4; 3]\):
-
\( x = \frac{7}{2} \) не попадает в отрезок \([-4; 3]\).
-
\( x = -\frac{7}{2} \) попадает в отрезок \([-4; 3]\).
-
Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
-
Для \( x = -4 \):
\[
y(-4) = -(-4)^2 - 7(-4) - 12 = -16 + 28 - 12 = 0
\]
-
Для \( x = -\frac{7}{2} \):
\[
y\left(-\frac{7}{2}\right) = -\left(-\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(-\frac{7}{2}\right) - 12 = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 12 = -\frac{49}{4} + \frac{98}{4} - \frac{48}{4} = \frac{1}{4}
\]
-
Для \( x = 3 \):
\[
y(3) = -3^2 + 7(3) - 12 = -9 + 21 - 12 = 0
\]
-
Сравним полученные значения и определим наибольшее значение функции на отрезке:
-
\( y(-4) = 0 \)
-
\( y\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{4} \)
-
\( y(3) = 0 \)
-
Наибольшее значение функции на отрезке \([-4; 3]\) равно \( \frac{1}{4} \).
Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{1}{4} \)