Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\sqrt{x^{2}-x-2}\) на отрезке \([3;5]\)

Ответ

2

Решение № 3404:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \) на отрезке \([3; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - x - 2} \right) \]
2. Используем правило дифференцирования корня:
\[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - x - 2) \]
3. Найдем производную внутренней функции:
\[ \frac{d}{dx} (x^2 - x - 2) = 2x - 1 \]
4. Подставим в формулу производной корня:
\[ y' = \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} = 0 \]
6. Решим уравнение:
\[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([3; 5]\):
\[ x = \frac{1}{2} \text{ не попадает в отрезок } [3; 5] \]
8. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y(3) = \sqrt{3^2 - 3 - 2} = \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ y(5) = \sqrt{5^2 - 5 - 2} = \sqrt{25 - 5 - 2} = \sqrt{18} \approx 4.24 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
\[ \text{Наименьшее значение: } y(3) = 2 \]

Ответ:
Наименьшее значение: \( 2 \)