Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти производную функции \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\)

Ответ

\(\frac{2e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}\)

Решение № 3380:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \]
2. Использовать правило дифференцирования частного (quotient rule):
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = e^x - 1 \) и \( v = e^x + 1 \).
3. Найти производные \( u' \) и \( v' \):
\[ u' = (e^x - 1)' = e^x \] \[ v' = (e^x + 1)' = e^x \]
4. Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(e^x)(e^x + 1) - (e^x - 1)(e^x)}{(e^x + 1)^2} \]
5. Раскрыть скобки и упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{e^x \cdot e^x + e^x - (e^x \cdot e^x - e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} \]
6. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} \]

Ответ:
Производная функции \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \) равна:
\[ f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} \]