Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти производную функции \(f(x)=cos(1-x\sqrt{x})\)

Ответ

\(\frac{3}{2}\sqrt{x}sin(1-x\sqrt{x})\)

Решение № 3371:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \]
2. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos(1 - x\sqrt{x}) \right) \]
3. Найти производную внешней функции \( \cos(u) \), где \( u = 1 - x\sqrt{x} \):
\[ \frac{d}{du} \left( \cos(u) \right) = -\sin(u) \]
4. Найти производную внутренней функции \( u = 1 - x\sqrt{x} \):
\[ u(x) = 1 - x\sqrt{x} \] \[ u'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 - x\sqrt{x} \right) \]
5. Найти производную \( x\sqrt{x} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( x\sqrt{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{1/2} \]
6. Подставить производную внутренней функции в формулу цепочки:
\[ u'(x) = -\frac{3}{2} x^{1/2} \]
7. Подставить оба результата в формулу цепочки:
\[ f'(x) = -\sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot \left( -\frac{3}{2} x^{1/2} \right) \]
8. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} \sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot x^{1/2} \]

Ответ:
Производная функции \( f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \) равна:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} \sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot x^{1/2} \]