Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти производную функции \(f(t)=(2-t^{2})cost+2tsint\)

Ответ

(t^{2}sint

Решение № 3355:

Для нахождения производной функции \( f(t) = (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(t) \):
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t \right] \]
2. Применим правило производной суммы и произведения:
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] + \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] \]
3. Найдем производную первого слагаемого \((2 - t^2) \cos t\):
\[ \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] = \frac{d}{dt} (2 - t^2) \cdot \cos t + (2 - t^2) \cdot \frac{d}{dt} (\cos t) \]
4. Производная \((2 - t^2)\):
\[ \frac{d}{dt} (2 - t^2) = -2t \]
5. Производная \(\cos t\):
\[ \frac{d}{dt} (\cos t) = -\sin t \]
6. Подставим производные в выражение:
\[ \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] = (-2t) \cos t + (2 - t^2) (-\sin t) \]
7. Найдем производную второго слагаемого \(2t \sin t\):
\[ \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] = \frac{d}{dt} (2t) \cdot \sin t + 2t \cdot \frac{d}{dt} (\sin t) \]
8. Производная \(2t\):
\[ \frac{d}{dt} (2t) = 2 \]
9. Производная \(\sin t\):
\[ \frac{d}{dt} (\sin t) = \cos t \]
10. Подставим производные в выражение:
\[ \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] = 2 \sin t + 2t \cos t \]
11. Теперь сложим все части производной:
\[ f'(t) = (-2t) \cos t + (2 - t^2) (-\sin t) + 2 \sin t + 2t \cos t \]
12. Упростим выражение:
\[ f'(t) = -2t \cos t - (2 - t^2) \sin t + 2 \sin t + 2t \cos t \]
13. Сгруппируем подобные члены:
\[ f'(t) = -2t \cos t + 2t \cos t - 2 \sin t + t^2 \sin t + 2 \sin t \]
14. Упростим окончательно:
\[ f'(t) = t^2 \sin t \]

Ответ:
Производная функции \( f(t) \): \[ f'(t) = t^2 \sin t \]