Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти производные\(f(x)=ln(x+1+\sqrt{x^{2}+2x+3})\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\)

Решение № 3322:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \right) \]
2. Пусть \( u = x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \). Тогда:
\[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \]
3. Найдем производную \( u \):
\[ u = x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \right) \]
4. Применим правило дифференцирования суммы:
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (1) + \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) \] \[ \frac{du}{dx} = 1 + 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) \]
5. Применим правило дифференцирования корня:
\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) \]
6. Найдем производную \( x^2 + 2x + 3 \):
\[ \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) = 2x + 2 \]
7. Подставим это в выражение для производной корня:
\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot (2x + 2) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]
8. Теперь подставим это в выражение для \( \frac{du}{dx} \):
\[ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]
9. Теперь подставим это в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \left( 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \right) \]
10. Выразим это в одном знаменателе:
\[ f'(x) = \frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]
11. Сократим дробь:
\[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]

Ответ:
Производная функции \( f(x) = \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \) равна: \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]