Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Найти производные\(f(x)=2^{\frac{2x-1}{3x+1}}\)
Ответ
\(f^{'}(x)=\frac{5}{(3x+1)^{2}}2^{\frac{2x-1}{3x+1}}ln2\)
Решение № 3303:
Для нахождения производной функции \( f(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Заметим, что функция имеет вид \( f(x) = 2^{u(x)} \), где \( u(x) = \frac{2x-1}{3x+1} \).
-
Найдем производную \( f(x) \) с использованием правила дифференцирования сложной функции:
\[
f'(x) = 2^{u(x)} \cdot \ln(2) \cdot u'(x)
\]
-
Найдем производную \( u(x) \):
\[
u(x) = \frac{2x-1}{3x+1}
\]
-
Используем правило дифференцирования частного:
\[
u'(x) = \frac{(2x-1)'(3x+1) - (2x-1)(3x+1)'}{(3x+1)^2}
\]
-
Вычислим производные числителя и знаменателя:
\[
(2x-1)' = 2
\]
\[
(3x+1)' = 3
\]
-
Подставим эти значения в формулу:
\[
u'(x) = \frac{2(3x+1) - (2x-1) \cdot 3}{(3x+1)^2}
\]
\[
= \frac{6x + 2 - 6x + 3}{(3x+1)^2}
\]
\[
= \frac{5}{(3x+1)^2}
\]
-
Теперь подставим \( u'(x) \) в формулу для \( f'(x) \):
\[
f'(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \cdot \ln(2) \cdot \frac{5}{(3x+1)^2}
\]
-
Итоговая производная функции \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{5 \cdot \ln(2) \cdot 2^{\frac{2x-1}{3x+1}}}{(3x+1)^2}
\]
Ответ:
Производная функции \( f(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \):
\[
f'(x) = \frac{5 \cdot \ln(2) \cdot 2^{\frac{2x-1}{3x+1}}}{(3x+1)^2}
\]