Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Найти производные\(f(x)=3cos\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )+\frac{3x}{2}sin\left ( \frac{x}{2}-1 \right )\)
Ответ
\(f^{'}(x)=-\frac{3x}{4}cos\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )\)
Решение № 3270:
Для нахождения производной функции \( f(x) = 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную первого слагаемого \( 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \):
-
Используем цепное правило дифференцирования:
\[
\frac{d}{dx} \left[ 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right] = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x - 1 \right)
\]
\[
= 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
= -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right)
\]
-
Найти производную второго слагаемого \( \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \):
-
Используем правило произведения и цепное правило дифференцирования:
\[
\frac{d}{dx} \left[ \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \right] = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - 1 \right)
\]
\[
= \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
= \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right)
\]
-
Сложить производные двух слагаемых:
\[
f'(x) = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right)
\]
\[
= \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right)
\]
Ответ:
Производная функции \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right)
\]