Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти производные\(f(x)=sin^{2}3x\)

Ответ

\(f^{'}(x)=3sin6x\)

Решение № 3263:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin^2(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = \sin(3x) \), тогда \( f(x) = u^2 \).
2. Найти производную \( u \):
\[ u = \sin(3x) \implies u' = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3 \cos(3x) \]
3. Найти производную \( f(x) \) по правилу цепочки:
\[ f(x) = u^2 \implies f'(x) = 2u \cdot u' \]
4. Подставить \( u \) и \( u' \) в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 2 \sin(3x) \cdot 3 \cos(3x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 6 \sin(3x) \cos(3x) \]
6. Использовать тригонометрическую идентификацию:
\[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \]
7. Заметим, что \( 6 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \cdot 2 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \sin(6x) \):
\[ f'(x) = 3 \sin(6x) \]

Ответ:
Производная функции \( f(x) = \sin^2(3x) \) равна \( 3 \sin(6x) \).