Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти экстремумы функций\(y=2x^{3}-6x^{2}-18x+7\)

Ответ

y_{max}=y(-1)=17, y_{min}=y(3)=-47

Решение № 3138:

Для нахождения экстремумов функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) = 6x^2 - 12x - 18 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \]
3. Упростим уравнение, разделив все члены на 6:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение, используя формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. Подставим коэффициенты \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \):
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
7. Проверим значения функции в критических точках \( x = 3 \) и \( x = -1 \):
\[ y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 \] \[ y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) + 7 = 2 \cdot (-1) - 6 \cdot 1 + 18 + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 \]
8. Для определения характера экстремумов, найдем вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x - 18) = 12x - 12 \]
9. Подставим критические точки в вторую производную:
\[ y'(3) = 12 \cdot 3 - 12 = 36 - 12 = 24 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-1) = 12 \cdot (-1) - 12 = -12 - 12 = -24 < 0 \quad \text{(максимум)} \]
10. Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x = 3 \) и максимум в точке \( x = -1 \).

Ответ:
Минимум: \( x = 3 \), \( y = -47 \)
Максимум: \( x = -1 \), \( y = 17 \)