Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти экстремумы функций\(y=x^{5}-5x^{4}\)

Ответ

y_{max}=y(0)=0, y_{min}=y(4)=-256

Решение № 3136:

Для нахождения экстремумов функции \( y = x^5 - 5x^4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^4) = 5x^4 - 20x^3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 5x^4 - 20x^3 = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ x^3(5x - 20) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x^3 = 0 \quad \text{или} \quad 5x - 20 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
5. Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 20x^3) = 20x^3 - 60x^2 \]
6. Вычислить вторую производную в критических точках:
\[ y'(0) = 20(0)^3 - 60(0)^2 = 0 \] \[ y'(4) = 20(4)^3 - 60(4)^2 = 20 \cdot 64 - 60 \cdot 16 = 1280 - 960 = 320 \]
7. Анализ второй производной:
\[ y'(0) = 0 \quad \text{(не определяет экстремум)} \] \[ y'(4) > 0 \quad \text{(минимальная точка)} \]
8. Проверить значения функции в критических точках:
\[ y(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 = 0 \] \[ y(4) = 4^5 - 5 \cdot 4^4 = 1024 - 5 \cdot 256 = 1024 - 1280 = -256 \]
9. Сравнить значения функции в критических точках:
\[ \text{Минимальное значение: } y(4) = -256 \] \[ \text{Максимальное значение: } y(0) = 0 \]

Ответ:
Минимальное значение: \( -256 \) при \( x = 4 \)
Максимальное значение: \( 0 \) при \( x = 0 \)