Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Выписать производную в заданной точке (точках) \(x_{0}\)\(f(x)=1+cos2x\) в точках пересечения с осями

Ответ

f^{'}(x)=-2sin2x, f^{'}(0)=0, f^{'}\left ( \frac{\pi }{2}+\pi k \right )=0

Решение № 3111:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + \cos(2x)) = -2\sin(2x) \]
2. Найти точки пересечения функции с осями:
• Для оси \( O_x \):
\[ f(x) = 0 \implies 1 + \cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -1 \]
• Решить уравнение \( \cos(2x) = -1 \):
\[ 2x = \pi + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Точки пересечения с осью \( O_x \) имеют координаты:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Для оси \( O_y \):
\[ x = 0 \]
• Точка пересечения с осью \( O_y \) имеет координаты:
\[ (0, f(0)) = (0, 1 + \cos(0)) = (0, 2) \]
3. Вычислить производную в найденных точках:
• Для точек на оси \( O_x \):
\[ f'(x) = -2\sin(2x) \]
• Подставим \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = -2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\right) = -2\sin(\pi + 2k\pi) = -2\sin(\pi) = 0 \]
• Для точки на оси \( O_y \):
\[ f'(0) = -2\sin(2 \cdot 0) = -2\sin(0) = 0 \]
4. Сравнить полученные значения производной в точках пересечения с осями:
• В точках пересечения с осью \( O_x \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0 \]
• В точке пересечения с осью \( O_y \):
\[ f'(0) = 0 \]

Ответ:
Производная функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями равна \( 0 \).