Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1)\) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]\)
Ответ
\underset{\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]}{max} y(x)=0; \underset{[ \frac{1}{1000};1 \right ]}{min} y(x)=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}
Решение № 3098:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) \) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) = x^{2/3}(x-1)
\]
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(x^{2/3}(x-1)\right)
\]
Используем правило произведения:
\[
y' = \left(x^{2/3}\right)'(x-1) + x^{2/3}(x-1)'
\]
\[
y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3}
\]
\[
y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3}
\]
\[
y' = \frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + x^{2/3}
\]
\[
y' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} = 0
\]
Умножим обе части на \( 3x^{1/3} \):
\[
5x - 2 = 0
\]
\[
5x = 2
\]
\[
x = \frac{2}{5}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\):
Критическая точка \( x = \frac{2}{5} \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{1000}\right)^2}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(-\frac{999}{1000}\right) = -\frac{999}{100000}
\]
\[
y\left(\frac{2}{5}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}
\]
\[
y(1) = \sqrt[3]{1^2}(1-1) = 0
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{999}{100000}
\]
\[
y\left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}
\]
\[
y(1) = 0
\]
-
Наибольшее значение: \( 0 \)
-
Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 0 \)
Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)