Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Определить, при каком значении \(a\) прямая \(y=4x+a\) является касательной к графику \(y=\frac{4^{x}-2^{x+1}}{ln2}\)

Ответ

\(a=4\left ( \frac{2}{ln2}-1 \right )\)

Решение № 3071:

Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = 4x + a \) является касательной к графику функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \right) \]
Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ \frac{d}{dx} (4^x) = 4^x \ln 4 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx} (2^{x+1}) = 2^{x+1} \ln 2 \]
Подставляем эти производные: \[ y' = \frac{4^x \ln 4 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} \]
Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{4^x \cdot 2 \ln 2 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} = 4^x \cdot 2 - 2^{x+1} \]
\[ y' = 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x = 2 \cdot (4^x - 2^x) \]
2. Условие касания: производная функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке касания должна быть равна угловому коэффициенту прямой \( y = 4x + a \):
\[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \]
Решим это уравнение относительно \( x_0 \): \[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \implies 4^{x_0} - 2^{x_0} = 2 \]
\[ (2^{x_0})^2 - 2^{x_0} - 2 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение: \[ t = 2^{x_0} \]
\[ t^2 - t - 2 = 0 \]
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня: \[ t_1 = 2 \quad \text{и} \quad t_2 = -1 \]
Так как \( t = 2^{x_0} \) и \( 2^{x_0} \) всегда положительно, то: \[ 2^{x_0} = 2 \implies x_0 = 1 \]
3. Найти значение функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке \( x_0 = 1 \):
\[ y(1) = \frac{4^1 - 2^{1+1}}{\ln 2} = \frac{4 - 4}{\ln 2} = 0 \]
4. Подставить найденные значения \( x_0 \) и \( y(x_0) \) в уравнение прямой \( y = 4x + a \):
\[ 0 = 4 \cdot 1 + a \implies 0 = 4 + a \implies a = -4 \]

Ответ:
Значение \( a \): \( a = -4 \)