Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{x^{2}}{17}-ln(x^{2}-8)\)

Ответ

{-5;5}

Решение № 3064:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Вычислить производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\ln(x^2 - 8)\right) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = -\frac{2x}{x^2 - 8} \]
3. Итоговая производная:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
5. Упростить уравнение:
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
6. Рассмотреть случай, когда \( x = 0 \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{17} = \frac{2 \cdot 0}{0^2 - 8} \implies 0 = 0 \] Это верно, значит \( x = 0 \) является критической точкой.
7. Рассмотреть случай, когда \( x \neq 0 \):
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \implies \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \]
8. Умножить обе стороны на 17 и \( x^2 - 8 \):
\[ 17 = x^2 - 8 \]
9. Решить уравнение относительно \( x^2 \):
\[ x^2 = 25 \]
10. Найти \( x \):
\[ x = \pm 5 \]
11. Проверить, какие из найденных точек \( x = 0 \), \( x = 5 \), \( x = -5 \) попадают в область определения функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \):
\[ x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x > \sqrt{8} \text{ или } x < -\sqrt{8} \]
12. Поскольку \( \sqrt{8} \approx 2.83 \), точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) не попадают в область определения функции. Точка \( x = -5 \) попадает.

Ответ:
Критическая точка: \( x = -5 \)