Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{2x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}}\)

Ответ

1

Решение № 3036:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \right) \]
2. Применить правило дифференцирования частного:
\[ y' = \frac{(6x^2 + 2x) \cdot x^2 - (2x^3 + x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2)^2} \]
3. Упростить числитель:
\[ y' = \frac{6x^4 + 2x^3 - 4x^4 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^4} \] \[ y' = \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} = 0 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2(x^3 + x^2 - x - 1) = 0 \] \[ x^3 + x^2 - x - 1 = 0 \]
6. Факторизовать уравнение:
\[ (x + 1)(x^2 - 1) = 0 \] \[ (x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ (x + 1)^2 (x - 1) = 0 \]
7. Найти корни уравнения:
\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
8. Проверить, попадают ли критические точки в область определения функции:
Оба корня \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в область определения функции, так как \( x \neq 0 \).

Ответ:
Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \)