Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\sqrt{2}\cdot tg^{2}\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )+2sin3x+2=0\)

Ответ

NaN

Решение № 22227:

Конечно, давайте решим уравнение \(\sqrt{2} \cdot \tan^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2\sin(3x) + 2 = 0\) пошагово.

1. Выразим \(\tan^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\) через синус и косинус: \(\tan^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)}{\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)}\)
2. Подставим это выражение в уравнение: \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)}{\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)} + 2\sin(3x) + 2 = 0\)
3. Умножим все слагаемые на \(\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\): \(\sqrt{2} \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2\sin(3x) \cos^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0\)
4. Используем тригонометрическое тождество \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\): \(\sqrt{2} \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2\sin(3x) (1 - \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)) + 2(1 - \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)) = 0\)
5. Раскроем скобки и упростим: \(\sqrt{2} \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2\sin(3x) - 2\sin(3x) \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2 - 2\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0\)
6. Сгруппируем слагаемые: \(\sqrt{2} \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin(3x) \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 2\sin(3x) + 2 - 2\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0\)
7. Вынесем общий множитель \(\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\): \(\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) (\sqrt{2} - 2\sin(3x) - 2) + 2\sin(3x) + 2 = 0\)
8. Рассмотрим два случая:
   1. Первый случай: \(\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0\): \(\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0\) \(\Rightarrow 2x + \frac{\pi}{3} = k\pi\) \(\Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, k \in \mathbb{Z}\)
   2. Второй случай: \(\sqrt{2} - 2\sin(3x) - 2 = 0\): \(\sqrt{2} - 2 = 2\sin(3x)\) \(\sin(3x) = \frac{\sqrt{2} - 2}{2}\) \(\Rightarrow 3x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{2}\right) + 2m\pi\), \(m \in \mathbb{Z}\) \(\Rightarrow x = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{2}\right) + \frac{2m\pi}{3}\)

Ответ: \(x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{2}\right) + \frac{2m\pi}{3}, m \in \mathbb{Z}\)