Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin2x=tg\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 22226:

Для решения уравнения \( \sin(2x) = \tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \), выполним следующие шаги:

1. Преобразуем уравнение: \[ \sin(2x) = \tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Заметим, что \(\tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) не имеет простого тригонометрического значения, поэтому мы будем работать с \(\sin(2x)\).
2. Рассмотрим уравнение \(\sin(2x) = \tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) и выразим \(\sin(2x)\) через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\): \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 \sin(x) \cos(x) = \tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
3. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
4. Теперь рассмотрим возможные значения \(x\), которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(2x) = \tan(y)\), где \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[ \sin(2x) = \tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
5. Решим уравнение \(2x = \arcsin\left(\tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2k\pi\), где \(k\) — целое число: \[ x = \frac{1}{2} \arcsin\left(\tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + k\pi \]
6. Также учитываем, что \(\sin(2x)\) имеет период \(2\pi\), поэтому: \[ x = \frac{1}{2} \left(\arcsin\left(\tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2k\pi\right) \]

Ответ: \[ x = \frac{1}{2} \left(\arcsin\left(\tan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]