Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos^{2}x+\sqrt{x-\frac{\pi }{2}}sinx+\sqrt{x-\frac{\pi }{2}}=0\)

Ответ

NaN

Решение № 22225:

Для решения уравнения \( \cos^2 x + \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} \sin x + \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} = 0 \) выполним следующие шаги: 1. **Определение области допустимых значений (ОДЗ):** - Уравнение содержит квадратный корень, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ x - \frac{\pi}{2} \geq 0 \implies x \geq \frac{\pi}{2} \] 2. **Преобразование уравнения:** - Вынесем общий множитель \(\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}\): \[ \cos^2 x + \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} (\sin x + 1) = 0 \] - Для того чтобы сумма была равна нулю, каждое слагаемое должно быть равно нулю: \[ \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} (\sin x + 1) = -\cos^2 x \] 3. **Анализ уравнения:** - Слагаемое \(\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}\) всегда неотрицательно, поэтому \(\sin x + 1\) должно быть неположительным: \[ \sin x + 1 \leq 0 \implies \sin x \leq -1 \] - \(\sin x = -1\) когда \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. 4. **Проверка значений:** - Подставим \(x = \frac{3\pi}{2}\) в уравнение: \[ \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} \] - Это не даёт нуля, поэтому \(x = \frac{3\pi}{2}\) не решение. 5. **Дополнительное условие:** - Рассмотрим случай, когда \(\cos^2 x = 0\): \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \text{ где } k \text{ — целое число} \] - Учитывая ОДЗ \(x \geq \frac{\pi}{2}\), возможные значения \(x\): \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \] 6. **Проверка значений \(x\):** - Для \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} + \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = 0 \implies 0 \cdot 1 + 0 = 0 \] - Это решение. ### Ответ: \[ \boxed{x = \frac{\pi}{2}} \]