Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos(\pi \sqrt{x-6})\cdot cos(\pi \sqrt{x})=1\)

Ответ

NaN

Решение № 22224:

1. Исходное уравнение: \[ \cos(\pi \sqrt{x-6}) \cdot \cos(\pi \sqrt{x}) = 1 \]
2. Для того чтобы произведение косинусов равнялось 1, каждый косинус должен быть равен 1 или -1. Рассмотрим оба случая: \[ \cos(\pi \sqrt{x-6}) = 1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi \sqrt{x}) = 1 \] или \[ \cos(\pi \sqrt{x-6}) = -1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi \sqrt{x}) = -1 \]
3. Рассмотрим первый случай: \[ \cos(\pi \sqrt{x-6}) = 1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi \sqrt{x}) = 1 \] Косинус равен 1, когда аргумент равен \(2k\pi\), где \(k\) — целое число. \[ \pi \sqrt{x-6} = 2k\pi \quad \text{и} \quad \pi \sqrt{x} = 2l\pi \] Упрощаем: \[ \sqrt{x-6} = 2k \quad \text{и} \quad \sqrt{x} = 2l \]
4. Решаем уравнения: \[ x-6 = (2k)^2 \quad \text{и} \quad x = (2l)^2 \] \[ x = 4k^2 + 6 \quad \text{и} \quad x = 4l^2 \]
5. Приравниваем выражения для \(x\): \[ 4k^2 + 6 = 4l^2 \] \[ 4k^2 - 4l^2 = -6 \] \[ k^2 - l^2 = -\frac{3}{2} \] Это уравнение не имеет целых решений, так как разность квадратов целых чисел не может быть дробным числом.
6. Рассмотрим второй случай: \[ \cos(\pi \sqrt{x-6}) = -1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi \sqrt{x}) = -1 \] Косинус равен -1, когда аргумент равен \((2k+1)\pi\), где \(k\) — целое число. \[ \pi \sqrt{x-6} = (2k+1)\pi \quad \text{и} \quad \pi \sqrt{x} = (2l+1)\pi \] Упрощаем: \[ \sqrt{x-6} = 2k+1 \quad \text{и} \quad \sqrt{x} = 2l+1 \]
7. Решаем уравнения: \[ x-6 = (2k+1)^2 \quad \text{и} \quad x = (2l+1)^2 \] \[ x = (2k+1)^2 + 6 \quad \text{и} \quad x = (2l+1)^2 \]
8. Приравниваем выражения для \(x\): \[ (2k+1)^2 + 6 = (2l+1)^2 \] \[ (2k+1)^2 - (2l+1)^2 = -6 \] \[ (2k+1 - 2l-1)(2k+1 + 2l+1) = -6 \] \[ (k-l)(k+l+1) = -3/2 \] Это уравнение также не имеет целых решений.
9. Заключение: Уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений.