Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin(\pi \sqrt{x})\cdot sin(\pi \sqrt{x-6})=1\)

Ответ

NaN

Решение № 22223:

Для решения уравнения \( \sin(\pi \sqrt{x}) \cdot \sin(\pi \sqrt{x-6}) = 1 \), следуйте следующим шагам:

1. Заметим, что произведение двух синусов равно 1 только если оба синуса равны 1 или -1. Однако, синус принимает значение 1 или -1 только в точках \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) и \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
2. Таким образом, нам нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \sin(\pi \sqrt{x}) = 1 \text{ или } -1 \\ \sin(\pi \sqrt{x-6}) = 1 \text{ или } -1 \end{cases} \]
3. Рассмотрим случай, когда \(\sin(\pi \sqrt{x}) = 1\): \[ \pi \sqrt{x} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \pi \sqrt{x} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ \sqrt{x} = \frac{1}{2} + 2k \quad \text{или} \quad \sqrt{x} = -\frac{1}{2} + 2k \] \[ x = \left(\frac{1}{2} + 2k\right)^2 \quad \text{или} \quad x = \left(-\frac{1}{2} + 2k\right)^2 \]
4. Рассмотрим случай, когда \(\sin(\pi \sqrt{x-6}) = 1\): \[ \pi \sqrt{x-6} = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \quad \text{или} \quad \pi \sqrt{x-6} = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi \] \[ \sqrt{x-6} = \frac{1}{2} + 2m \quad \text{или} \quad \sqrt{x-6} = -\frac{1}{2} + 2m \] \[ x-6 = \left(\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \quad \text{или} \quad x-6 = \left(-\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \] \[ x = 6 + \left(\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \quad \text{или} \quad x = 6 + \left(-\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \]
5. Теперь нам нужно найти такие \(k\) и \(m\), чтобы \(x\) и \(x-6\) были положительными и равными. Рассмотрим несколько значений \(k\) и \(m\): \[ \begin{cases} x = \left(\frac{1}{2} + 2k\right)^2 \\ x = 6 + \left(\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x = \left(-\frac{1}{2} + 2k\right)^2 \\ x = 6 + \left(-\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \end{cases} \]
6. Решим первую систему: \[ \left(\frac{1}{2} + 2k\right)^2 = 6 + \left(\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \] \[ \left(\frac{1}{2} + 2k\right)^2 - \left(\frac{1}{2} + 2m\right)^2 = 6 \] \[ \left(\frac{1}{2} + 2k - \frac{1}{2} - 2m\right)\left(\frac{1}{2} + 2k + \frac{1}{2} + 2m\right) = 6 \] \[ (2k - 2m)(1 + 2k + 2m) = 6 \] \[ 2(k - m)(1 + 2(k + m)) = 6 \] \[ (k - m)(1 + 2(k + m)) = 3 \]
7. Решим вторую систему: \[ \left(-\frac{1}{2} + 2k\right)^2 = 6 + \left(-\frac{1}{2} + 2m\right)^2 \] \[ \left(-\frac{1}{2} + 2k\right)^2 - \left(-\frac{1}{2} + 2m\right)^2 = 6 \] \[ \left(-\frac{1}{2} + 2k + \frac{1}{2} - 2m\right)\left(-\frac{1}{2} + 2k - \frac{1}{2} + 2m\right) = 6 \] \[ (2k - 2m)(-1 + 2k - 2m) = 6 \] \[ 2(k - m)(-1 + 2(k - m)) = 6 \] \[ (k - m)(-1 + 2(k - m)) = 3 \]
8. Теперь попробуем найти целые значения \(k\) и \(m\), которые удовлетворяют этим уравнениям. Однако, после проверки, становится ясно, что не существует таких целых \(k\) и \(m\), чтобы удовлетворить оба уравнения одновременно.

Ответ: Нет решений.