Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(cos^{1977}\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )+sin^{1995}7x=2\)
Ответ
NaN
Решение № 22221:
Решим уравнение \( \cos^{1977}\left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin^{1995}(7x) = 2 \) пошагово:
- Используем тригонометрическое тождество для косинуса:
\[
\cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x
\]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
\sin^{1977} x + \sin^{1995}(7x) = 2
\]
- Рассмотрим диапазон значений синуса:
\[
\sin x \in [-1, 1]
\]
Поскольку синус любого угла находится в этом диапазоне, \(\sin^{1977} x\) и \(\sin^{1995}(7x)\) также будут находиться в этом диапазоне.
- Заметим, что сумма двух чисел, каждое из которых находится в диапазоне \([-1, 1]\), не может быть больше 2. Таким образом, для того чтобы сумма была равна 2, оба слагаемых должны быть максимально возможными:
\[
\sin^{1977} x = 1 \quad \text{и} \quad \sin^{1995}(7x) = 1
\]
- Рассмотрим условия, при которых \(\sin^{1977} x = 1\):
\[
\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -1
\]
Однако \(\sin x = -1\) даст \(\sin^{1977} x = -1\), что не подходит. Следовательно:
\[
\sin x = 1
\]
- Решим \(\sin x = 1\):
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Рассмотрим условия, при которых \(\sin^{1995}(7x) = 1\):
\[
\sin(7x) = 1
\]
- Решим \(\sin(7x) = 1\):
\[
7x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{14} + \frac{2m\pi}{7}, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
- Сравним два выражения для \(x\):
\[
\frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{\pi}{14} + \frac{2m\pi}{7}
\]
Умножим обе части на 14 для упрощения:
\[
7\pi + 28k\pi = \pi + 4m\pi
\]
\[
6\pi + 28k\pi = 4m\pi
\]
\[
7k = m - \frac{3}{2}
\]
Поскольку \(k\) и \(m\) целые числа, это уравнение не может быть удовлетворено.
- Следовательно, уравнение \( \cos^{1977}\left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin^{1995}(7x) = 2 \) не имеет решений.
Ответ: Нет решений.