Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos\pi x+sin\frac{5\pi x}{2}=-2, 2\leqslant x\leqslant 6\)

Ответ

NaN

Решение № 22220:

Решим уравнение \( \cos(\pi x) + \sin\left(\frac{5\pi x}{2}\right) = -2 \) для \( 2 \leqslant x \leqslant 6 \) пошагово.

1. Рассмотрим уравнение \( \cos(\pi x) + \sin\left(\frac{5\pi x}{2}\right) = -2 \).
2. Заметим, что \(-2\) — это минимально возможное значение суммы косинуса и синуса, что возможно только если оба аргумента принимают значения \(-1\) и \(-1\) соответственно.
3. Рассмотрим условие \( \cos(\pi x) = -1 \): \[ \cos(\pi x) = -1 \implies \pi x = \pi + 2\pi k \implies x = 1 + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Рассмотрим условие \( \sin\left(\frac{5\pi x}{2}\right) = -1 \): \[ \sin\left(\frac{5\pi x}{2}\right) = -1 \implies \frac{5\pi x}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m \implies 5x = 3 + 4m \implies x = \frac{3 + 4m}{5}, \quad m \in \mathbb{Z} \]
5. Теперь найдём общие значения \( x \), удовлетворяющие обоим условиям: \[ x = 1 + 2k \quad \text{и} \quad x = \frac{3 + 4m}{5} \]
6. Решим систему уравнений: \[ 1 + 2k = \frac{3 + 4m}{5} \] Умножим обе части на 5: \[ 5 + 10k = 3 + 4m \implies 10k - 4m = -2 \implies 5k - 2m = -1 \] Решим диофантово уравнение \( 5k - 2m = -1 \).
7. Найдём одно частное решение: \[ k = -1, \quad m = -2 \quad \text{(подставляем и проверяем)} \] \[ 5(-1) - 2(-2) = -5 + 4 = -1 \] Частное решение верно.
8. Найдём общее решение: \[ k = -1 + 2t, \quad m = -2 + 5t, \quad t \in \mathbb{Z} \]
9. Подставим \( k \) обратно в выражение для \( x \): \[ x = 1 + 2(-1 + 2t) = 1 - 2 + 4t = 4t - 1 \]
10. Учитываем ограничение \( 2 \leqslant x \leqslant 6 \): \[ 2 \leqslant 4t - 1 \leqslant 6 \] Решим неравенство: \[ 3 \leqslant 4t \leqslant 7 \implies \frac{3}{4} \leqslant t \leqslant \frac{7}{4} \] Целые значения \( t \) в этом диапазоне: \( t = 1 \).
11. Найдём соответствующее значение \( x \): \[ t = 1 \implies x = 4(1) - 1 = 3 \]

Ответ: \( x = 3 \)