Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin7x+cos12x=2\)

Ответ

NaN

Решение № 22219:

Для решения уравнения \( \sin 7x + \cos 12x = 2 \), выполним следующие шаги:

1. Заметим, что сумма синуса и косинуса равна 2 только в том случае, если оба значения равны 1. То есть: \[ \sin 7x = 1 \quad \text{и} \quad \cos 12x = 1 \]
2. Решим уравнение \(\sin 7x = 1\): \[ 7x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7} \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z} \]
3. Решим уравнение \(\cos 12x = 1\): \[ 12x = 2l\pi \quad \text{для} \quad l \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{l\pi}{6} \quad \text{для} \quad l \in \mathbb{Z} \]
4. Теперь найдём общие решения для \(x\): \[ \frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7} = \frac{l\pi}{6} \] Приравняем правые части: \[ \frac{1}{14} + \frac{2k}{7} = \frac{l}{6} \] Умножим обе стороны на 42 (наименьшее общее кратное для 14 и 6): \[ 3 + 12k = 7l \] Решим это уравнение: \[ 12k - 7l = -3 \]
5. Найдём целые решения \(k\) и \(l\). Заметим, что \(k\) и \(l\) должны быть такими, чтобы уравнение выполнялось. Проверим несколько значений:
   • Если \(k = 1\), то \(12 \cdot 1 - 7l = -3 \Rightarrow 12 - 7l = -3 \Rightarrow 7l = 15 \Rightarrow l = \frac{15}{7}\) (не целое)
   • Если \(k = 2\), то \(12 \cdot 2 - 7l = -3 \Rightarrow 24 - 7l = -3 \Rightarrow 7l = 27 \Rightarrow l = \frac{27}{7}\) (не целое)
   • Если \(k = 3\), то \(12 \cdot 3 - 7l = -3 \Rightarrow 36 - 7l = -3 \Rightarrow 7l = 39 \Rightarrow l = \frac{39}{7}\) (не целое)
   • Если \(k = 4\), то \(12 \cdot 4 - 7l = -3 \Rightarrow 48 - 7l = -3 \Rightarrow 7l = 51 \Rightarrow l = \frac{51}{7}\) (не целое)
   • Если \(k = 5\), то \(12 \cdot 5 - 7l = -3 \Rightarrow 60 - 7l = -3 \Rightarrow 7l = 63 \Rightarrow l = 9\) (целое)
   Значит, \(k = 5\) и \(l = 9\).
6. Подставим \(k = 5\) в \(x = \frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7}\): \[ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2 \cdot 5 \pi}{7} = \frac{\pi}{14} + \frac{10\pi}{7} = \frac{\pi}{14} + \frac{20\pi}{14} = \frac{21\pi}{14} = \frac{3\pi}{2} \]
7. Проверим, что \(x = \frac{3\pi}{2}\) удовлетворяет уравнению: \[ \sin 7x = \sin \left(7 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{21\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] \[ \cos 12x = \cos \left(12 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) = \cos \left(18\pi\right) = 1 \]

Ответ: \(x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}\)