Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos2x+asinx=2a-7\)

Ответ

NaN

Решение № 21665:

Решение уравнения \( \cos 2x + a \sin x = 2a - 7 \) пошагово: 1. **Используем формулу двойного угла для косинуса:** \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Подставляем это в уравнение: \[ 1 - 2 \sin^2 x + a \sin x = 2a - 7 \] 2. **Переносим все члены в одну сторону уравнения:** \[ 1 - 2 \sin^2 x + a \sin x - 2a + 7 = 0 \] Упрощаем: \[ -2 \sin^2 x + a \sin x - 2a + 8 = 0 \] 3. **Переводим уравнение в каноническую форму квадратного уравнения:** \[ 2 \sin^2 x - a \sin x + 2a - 8 = 0 \] 4. **Находим дискриминант (D) квадратного уравнения:** \[ D = a^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2a - 8) \] Упрощаем: \[ D = a^2 - 8(2a - 8) = a^2 - 16a + 64 \] 5. **Решаем квадратное уравнение для \(\sin x\):** \[ \sin x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} \] 6. **Находим значения \(\sin x\):** \[ \sin x_1 = \frac{a + \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} \] \[ \sin x_2 = \frac{a - \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} \] 7. **Проверяем, при каких значениях \(a\) значения \(\sin x\) будут принадлежать интервалу \([-1, 1]\):** \[ \left| \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} \right| \leq 1 \] 8. **Решаем неравенство:** \[ -4 \leq a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64} \leq 4 \] 9. **Рассматриваем оба случая:** - Для \(a + \sqrt{a^2 - 16a + 64}\): \[ -4 \leq a + \sqrt{a^2 - 16a + 64} \leq 4 \] - Для \(a - \sqrt{a^2 - 16a + 64}\): \[ -4 \leq a - \sqrt{a^2 - 16a + 64} \leq 4 \] 10. **Находим интервалы для \(a\):** \[ a \in [0, 4] \cup [4, 8] \] 11. **Вычисляем \(x\) для найденных значений \(\sin x\):** \[ x = \arcsin \left( \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} \right) \] ### Ответ: \[ x = \arcsin \left( \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} \right) \] где \(a \in [0, 8]\).